Ta brskalnik ni podprt, zato nekatere funkcije ne bodo delovale.

Matematika


manjka se kr stvari


Polinomi

Predpis za polinome:

\( p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \phantom{a}\cdots\phantom{a} a_2x^2 + a_1x + a_0 \)


Stopnja polinoma je \(n\) - število ki je na največji stopnji (potenci) je stopnja polinoma.

\(f(x) = 2x + 3\) - polinom prve stopnje

\(f(x) = x^2 -2x -3\) - polinom druge stopnje

\(f(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 1\) - polinom četrte stopnje


Tam kjer manjka člen (npr. 3. enačba nima \(x^3\) ima ta člen koeficient 0).

\( f(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 1 \) členi te funkcije so \(a_4 = 2 , a_3 = 0 , a_2 = -3 , a_1 = 1 , a_0 = -1\)


\(a_n\) se imenuje vodilni koeficient (št. pred x-om) \(a_nx^n\) je vodilni člen \(a_0\) je prosti člen

Vaje:

1) zapiši dele funkcije

\( p(x) = 6x^3 - 5x^2 + x + 5 \)

  • koeficienti = 6, -5, 1, 5
  • stopnja = tretja (\(n = 3\))
  • vodilni koeficient = 6 (\(a_3 = 6\))
  • vodilni člen = \(6x^3\) (\(a_nx^n = 6x^3\))


Računanje s polinomi

Seštevanje

\( p(x) = 2x^3 - 5x + 4 \\ q(x) = x^2 + x - 3 \)

\( p(x) + q(x) \\ = 2x^3 - 5x + 4 + x^2 + x - 3 \\ = 2x^3 + x^2 - 4x + 1 \)

Pri seštevanju polinomov lahko dobimo nižjo stopnjo polinoma, nikoli pa višjo od najvišje stopnje polinomov ki jih seštevamo.

Odštevanje

\( p(x) = 2x^3 - 5x + 4 \\ q(x) = x^2 + x - 3 \)

\( p(x) - q(x) \\ = (2x^3 - 5x + 4) - (x^2 + x - 3) \\ = 2x^3 - 5x + 4 - x^2 + x - 3 \\ = 2x^3 - x^2 - 6x + 7 \)

Množenje

\( p(x) = x^2 + x - 2 \\ q(x) = 2x + 3 \)

\( p(x) \cdot q(x) \\ = (x^2 + x - 2)(2x + 3) \\ = 2x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 3x - 4x - 6 \\ = 2x^3 + 5x^2 - x - 6 \)

Pri množenju se stopnja polinoma sešteva (ker se potence pri množenju seštevajo).

Deljenje

wtf kako da to nardim u mathjaxu ??? tipo 1 mesec rabi da skontam zaprau lol

Manjka se kr stvari

Adicijski izreki

Obrestni račun

Spremenljivka Kaj pomeni
G - glavnica Znesek, ki se nam obrestuje
o - obresti Znesek, za kateregase glavnica poveča
p - obrestna mera V %, banke računajo letno obrestno mero
r - obrestovalni faktor \( \mathrm{r} = 1 + \frac{p}{100} \)
n - obrestovalna doba  

Glavnica ostaja enaka, obresti so enake.

Primer: Miha si od banke sposodi…

Obrestno obrestovanje

Glavnica se po računanju obresti veča, zato se tudi obresti s časom večajo.

Odvod

Odvod funkcije f(x) v točki T(x, y) je enak smernemu koeficientu tangente na graf te funkcije v tej točki. Označimo ga f'(x).

Odvod funkcije slika

Pravila za odvajanje

  • Produkt funkcije in konstante
  • Vsota in razlika funkcij
  • Produkt funkcij
  • Kvocient funkcij

Odvodi elementarnih funkcij

FUNKCIJA f(x) ODVOD f(x)'
\( c \) \( 0 \)
\( x \) \( 1 \)
\( x^n \) \( nx^{n-1} \)
\( e^x \) \( e^x \)
\( a^x \) \( a^xlna \)
\( lnx \) \( \frac{1}{x} \)
\( log_ax \) \( \frac{1}{xlna} \)
\( sinx \) \( cosx \)
\( cosx \) \( -sinx \)
\( tanx \) \( \frac{1}{cos^2x} \)
\( cotx \) \( -\frac{1}{sin^2x} \)

Kombinatorika

Kombinatorika je področje matematike, ki se ukvarja s tem, na koliko načinov je možno razporediti neko množico elementov ali na koliko načinov je možno izbrati elemente iz neke množice.

Kombinatorično drevo

S kombinatoričnim drevesom grafično prikažemo proces

Izbiranja odločitev. Drevo vseh možnosti narišemo tako, da vsako vozlišče razvejimo na toliko vozlišč, kolikor izbir imamo na voljo v danem koraku.

Kombinatorično drevo

Pravilo produkta ali osnovni izrek kombinatorike: Če imamo na voljo m možnosti iz prve skupine in n možnosti iz druge skupine, izbrati pa želimo eno možnost iz prve in hkrati eno iz druge skupine, potem imamo na izbiro skupno m · n možnosti.

Primer: Pripravljamo darilo za rojstni dan. Najprej izberemo eno od daril (čokolada, igrača, knjiga, darilni bon), potem darilo zavijemo v eno od možnosti (škatla, darilna vrečka, darilni papir) in na koncu dodamo pentljo ene izmed barv (rdeča, modra, rumena). Koliko različnih daril imamo na voljo?

Rešitev: N = 4 · 3 · 3 = 36


Pravilo vsote: Če imamo na voljo m možnosti iz prve skupine in n možnosti iz druge skupine, izbrati pa želimo točno eno možnost iz prve ali iz druge skupine, potem imamo na izbiro skupaj m + n možnosti.

Primer: Na kosilo gremo lahko picerijo, ki ponuja 5 vrst pic, v mehiško restavracijo ki ponuja 3 vrste tortilj ali v italijansko restavracijo ki ponuja 4 vrste testenin. Koliko različnih kosilo imamo na voljo?

Rešitev: N = 5 + 3 + 4 = 12

Permutacije

Permutacije so razporeditve danih n elementov na n prostih mest. Če so vsi elementi med seboj različni, so to permutacije brez ponavljanja. Število permutacij brez ponavljanja izračunamo po formuli:

To računsko operacijo imenujemo n fakulteta ali n faktorsko.

Primer: Koliko različnih petmestnih števil lahok zapišemo iz števk 1, 2, 3, 4, 5?

Rešitev: P5 = 5! = 120

Variacije

Variacije brez ponavljanja so razporeditve n različnih elementov na r prostih mest. Pri tem je r < n, zato ostane nekaj elementov nerazporejenih. Število variacije brez ponavljanja izračunamo po formuli:

Primer: Koliko različnih trimestnih števil lahko sestaviš iz števk 1, 2, 3, 4, 5?

Rešitev: V35 = 5! : 3! = 20

Kombinacije

Če pri variacijah zanemarimo vrstni red in opazujemo samo, kateri elementi so izbrani, dobimo kombinacije. Kombinacije brez ponavljanja so izbire r (različnih) elementov izmen n različnih elementov, ki so na voljo. Število kombinacij brez ponavljanja izračunamo po formuli:

Izraz, ki nastopa na desni strani zgornje formule, lahko označimo tudi z binomskim simbolom:

Primer: Na koliko načinov lahko izberem iz razreda z 20 dijaki 3 predstavnike?

Rešitev: C320 = 20! / 3! · 17! = 1140

1335 words